中学・高校数学

5分で学ぶ高校数学 整数問題 因数分解を利用する

本日の問題

整数問題

2/p+1/q=1を満たす整数(p,q)の組を求めよ。

まず考えることは

一つずつ整数を入れていってもいいですが、全部を求めるのは難しそうです。
そんなに数が多くないにしてももれなく、無駄なく数えるにはどうすればいいでしょうか。

分数はめんどくさい

 分母にpqをかけて、分母をはらいましょう。

2q+p=pq

因数分解の型を作る

 このままだとなんのことは分かりません。どうすればいいでしょうか。とりあえず、左辺に集まれーしましょう。

2q-pq+p=0

qが共通因数なので、

(2-p)q+p=0

とつくれますね。
 整数の組を求めないのですから、なんとか( )( )=整数の形に持ち込みたいわけです。そこで!!!

両辺に-2を加えます

すると

(2-p)q+p-2=-2

(2-p)q-(2-p)=-2

(2-p)(q-1)=-2

となります。
このままでもいいですが、-2を2にしておくと考えやすいので、

(p-2)(q-1)=2

となります。
あとは、かけて2になる組み合わせを考えていけばいいですね。
やってみましょう。

解説動画

まとめ

本日のまとめ

整数問題は因数分解できるかなぁと考えてやってみましょう。

今日も楽しく学べたかな?またお会いしましょう。ふるやまんでした。